Номер 559

Дано: Коло вписане у △ABC. ∠A = 30°, ∠B = 70°, ∠C = 80°. N, Е, Р — точки дотику.
Знайти: кути △NPE.

Розв'язання

Центр кола, вписаного у трикутник, знаходиться у точці перетину бісектрис.
Отже, AO — бісектриса ∠BAC, тоді ∠NAO = ∠PAO = ∠BAC : 2 = 30° : 2 = 15°.
Аналогічно OB — бісектриса ∠NBE, тоді ∠NBO = ∠OBE = ∠ABC : 2 = 70° : 2 = 35° і ОС — бісектриса ∠ECP, тоді ∠PCO = ∠ECO = ∠PCE : 2 = 80° : 2 = 40°.
За умовою О — центр вписаного кола, тоді за властивістю дотичних до кола, маємо: ON ⊥ AB, OE ⊥ ВС, OP ⊥. АС.
ON = OE = ОР — радіуси вписаного кола.
Розглянемо △ANO і △АРО — прямокутні.
ANO = ∠APO = 90°, ON = ОР, АО — спільна сторона.
Тоді за ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: △ANO = △АРО.
Звідси ∠NOA = ∠POA = 90° – 15° = 75°;
NOP = ∠NOA + ∠POA = 75° + 75° = 150°.
Розглянемо △NOP — рівнобедрений (NO = ОР).
За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо:
ONP = ∠OPN = (180° – 150°) : 2 = 15°.
Аналогічно ∠NOE = 110°, ∠EOP = 100°.
ENO = ∠OEN = (180° – 110°) : 2 = 35°.
OEP = ∠OPE = (180° – 100°) : 2 = 40°.
ENP = ∠PNO + ∠ONE, ∠ENP = 15° + 35° = 50°.
NPE = ∠NPO + ∠OPE, ∠NPE = 15° + 40° = 55°.
NEP = ∠NEO + ∠OEP, ∠NEO = 35° + 40° = 75°.
Відповідь: 50°, 55°, 75°.


Коментарі

Всього коментарів: 0